材料物理綜合練習(xí)章節(jié)練習(xí)(2019.05.10)

晶格常數(shù)為a的一維晶體，電子波函數(shù)為：

利用布洛赫定理，求電子在以上狀態(tài)下的波矢。

設(shè)離子晶體的總內(nèi)能為：

其中，N為離子晶體的原胞數(shù)，α為馬德隆常數(shù)，e為電子電量的絕對(duì)值，ε₀為介電常數(shù)，b為常數(shù)，Z為配位數(shù)。
（1）求晶體平衡時(shí)，離子間總的相互作用內(nèi)能U（r₀）。
（2）證明平衡時(shí)離子晶體相互作用內(nèi)能U（r₀）正比于

設(shè)晶體中某一能帶，從E=E₀到E=E_F（費(fèi)米能），電子的能帶滿足

其中，m₁，m₂，m₃均為大于零的常數(shù)。
（1）求電子的態(tài)密度
（2）證明T=0K時(shí)，費(fèi)米面處的態(tài)密度可以表示成

這里，n為這個(gè)能帶內(nèi)，單位體積電子數(shù)密度。

考慮一個(gè)線性鏈，例如聚乙烯鏈…-CH═CH-CH═CH-CH═CH-…，具有交替大小的彈性系數(shù)β，但是每個(gè)原子團(tuán)的質(zhì)量M相同。證明這樣的鏈的伸張振動(dòng)頻率為：

求k→0和k→π/a時(shí)的頻率值，并繪出光學(xué)支與聲學(xué)支的色散關(guān)系。